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2021考研数学高数基础知识点讲解及备考指导:导数与微分

来源:考研招生网 考研君 2020-02-18

  在研究生入学考试中,高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。高等数学包含函数极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块。

  今天我们要梳理的内容是导数与微分,属于一元函数微分学的内容。一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数的应用三方面内容,接下来我们对这一部分的考试内容,考试要求及常考题型来进行说明。

  1、考试内容

  (1)导数和微分的概念;

  (2)导数的几何意义和物理意义;

  (3)函数的可导性与连续性之间的关系;

  (4)平面曲线的切线和法线;

  (5)导数和微分的四则运算;

  (6)基本初等函数的导数;

  (7)复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法;

  (8)高阶导数;

  (9)一阶微分形式的不变性;

  (10)微分中值定理;

  (11)洛必达法则;

  (12)函数单调性的判别;

  (13)函数的极值;

  (14)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线;

  (15)函数图形的描绘;

  (16)函数的最大值和最小值;

  (17)弧微分、曲率的概念;

  (18)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要求数一、数二考试掌握,数三考试不要求)。

  2、考试要求

  (1)理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,理解函数的可导性与连续性之间的关系;

  (2)了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量(数一、数二要求,数三不要求);

  (3)掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分;

  (4)了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数;

  (5)会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数;

  (6)理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理;

  (7)掌握用洛必达法则求未定式极限的方法;

  (8)理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用;

  (9)会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形;

  (10)了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径(数一、数二要求、数三不要求)。

  3、常考题型

  (1)导数定义;

  (2)求显函数、隐函数、分段函数、积分上限函数、幂指函数等各种类型的导数与微分;

  (3)利用函数的单调性证明不等式;

  (4)求函数的极值与最值;

  (5)曲线的凹凸性、拐点、渐近线;

  (6)证明函数不等式;

  (7)方程根的存在性与个数;

  (8)洛必达法则求函数极限;

  (9)用介值定理、零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理证明不等式。

  4、复习建议

  (1)加强对基础概念的理解

  加强对基础概念的理解是学习这一部分的关键。原因有两个:第一:导数这章内容相对比较简单。比如求导公式,大家在高中就接触过。

  第二:考研中考得最多的就是对导数概念的理解以及对导数应用中极值概念的理解。比如在求分段函数分段点的导数要用导数的定义来求,同学们就经常直接求一侧函数的导数再算极限,而这种情况只有建立在导函数连续的基础上才成立。从这些概念本身来看,相对来说比较简单,但是考法却是比较深入。所以,希望同学们要加深对本章概念的理解,千万不要一知半解就开始盲目的做题。

  (2)加强对常考点的掌握

  具体来说,分为三个章节。第一部分:可导与可微。其中导数定义是重点。导数的定义几乎是每年必考,而且考察的往往都是变形的形式,但实质上都是在考察对极限的理解。

  第二部分:导数计算。复合函数求导是重点,并在此基础上掌握幂指函数求导,隐函数求导及参数方程求导。在高阶导数部分,大家要掌握常见函数高阶导数的六大公式及莱布尼兹公式。

  第三部分:导数的应用。其中极值本身的概念也是一个很大的考点,包括极值的必要的条件以及极值的第一和第二充分条件。每年考研都会有一些相关的选择题。同理,题目考察拐点的时候,同时也考察了凹凸性,导函数的单调性等概念。因此,拐点的概念是考察的一个方向,同时拐点的必要条件及第一和第二充分条件也是重要考点。

  请大家注意:只要学好极值及单调性,相应的凹凸性和拐点也可以类比迁移;极值研究的是一阶导的正负号,相应的凹凸性研究的是二阶导的正负号。

  (3)多练题,提高计算能力

  在大家理解了重点知识以及明确了考试重点之后,接下来就需要做题巩固了。针对考试要求的每个考点进行做题巩固,关键是每做一个题要掌握这道题的解题思路,基本就是从已知条件怎么找到联系结果的突破点;另外对于每一类题型要做到勤总结,多整理错题本,以便每次回顾使用。

  以上是考研小编为大家整理的相关知识点,希望对大家今年的高数复习更有帮助。了解更多考研数学相关知识点,可以多多关注考研网站。

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