2025年全国硕士研究生招生考试大纲-数学一之线性代数

大纲核心要点

当前，2024年9月颁布的2025全国硕士研究生招生考试数学考试大纲对于考试内容和考试要求的设置上预计与2024年相比没有太大变动。

下面，我们将根据最新的考试大纲，为即将准备报考2025考研数学的同学逐一解读考试大纲中的核心要点。

通过对最新的考试大纲分析可知，根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，硕士研究生招生考试数学试卷(简称考研数学)分为三个卷种，其中针对工学门类的为数学(一)和数学(二)，针对经济学和管理学门类的为数学(三)。

关于试卷及考试时间

试卷内容及对应分值

注：数学(二)的试卷内容不涉及概率论与数理统计，这点请考生务必记住。

试卷的结构题型

四、考试性质和考查目标

1、考试性质：数学考试其本质是为高等学校和科研院所招收工学、经济学、管理学硕士研究生而设置的具有选拔性质的全国招生考试科目，目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备继续攻读硕士学位所需要的数学知识和能力。此套评价标准有利于各高等院校和科研院所择优选拔，从而确保硕士研究生的招生质量。

2、考查目标

作为选拔性考试，数学考试要求考生能够比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握解决数学问题的基本方法。此外，考生还应具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

2025年数学一考试大纲

考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

三、试卷内容结构

高等数学                　约60%

线性代数　                约20%

概率论与数理统计          约20%

四、试卷题型结构

单选题                    10小题，每小题5分，共50分

填空题                    6小题，每小题5分，共30分

解答题（包括证明题）      6小题，共70分

线性代数

一、行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质　行列式按行（列）展开定理

考试要求

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

二、矩阵

考试内容

矩阵的概念　矩阵的线性运算　矩阵的乘法　方阵的幂　方阵乘积的行列式　矩阵的转置　逆矩阵的概念和性质　矩阵可逆的充分必要条件　伴随矩阵　矩阵的初等变换　初等矩阵　矩阵的秩　矩阵的等价　分块矩阵及其运算

考试要求

1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。

2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

5．了解分块矩阵及其运算。

三、向量

考试内容

向量的概念  向量的线性组合与线性表示  向量组的线性相关与线性无关  向量组的极大线性无关组  等价向量组  向量组的秩  向量组的秩与矩阵的秩之间的关系  向量空间及其相关概念  n维向量空间的基变换和坐标变换  过渡矩阵 向量的内积   线性无关向量组的正交规范化方法  规范正交基  正交矩阵及其性质

考试要求

1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。

2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。  

3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。

5．了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。

6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。

7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。

8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。

四、线性方程组

考试内容

线性方程组的克拉默（Cramer）法则  齐次线性方程组有非零解的充分必要条件  非齐次线性方程组有解的充分必要条件  线性方程组解的性质和解的结构  齐次线性方程组的基础解系和通解  解空间  非齐次线性方程组的通解

考试要求

l．会用克拉默法则。

2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

五、矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质  相似变换、相似矩阵的概念及性质  矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵  实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

考试要求

1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。

2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。

3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

六、二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示  合同变换与合同矩阵  二次型的秩  惯性定理  二次型的标准形和规范形  用正交变换和配方法化二次型为标准形  二次型及其矩阵的正定性

考试要求

1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。

2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。

3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。