西湖大学数学研究生招生考试大纲 2024-2025

第一章 代数与几何

1.1 集合与逻辑基础
(1) 命题逻辑，谓词逻辑.
(2) 集合，对应，映射，单射，满射，一一对应.
(3) 映射的像与原像，逆映射.
(4) 集合的直积，无交并，集合的幂集.
(5) 二元关系，反身性，对称性，传递性，等价关系，等价类，商集.
(6) 偏序集，全序，良序，区间，数学归纳法.
(7) 序数，基数，可数集.
(8) 上界，下界，极大元，极小元，最大元，最小元，上确界，下确界
(9) 选择公理及其等价形式，Zorn 引理.

1.2 群
(1) 二元运算，半群，幺半群，可逆元.
(2) 群，Abel 群，群同态，群的直积.
(3) 子群，子集生成的子群，元素的阶，正规子群，商群.
(4) 群的作用，稳定子群，商集，共轭类.
(5) 循环群，有限 Abel 群.
(6) 置换群，对换，轮换，置换的符号，交错群.

1.3 环
(1) 幺环，环同态，子环，环的乘积，双边理想，商环.
(2) 交换幺环的理想，素理想，极大理想，中国剩余定理.
(3) 交换幺环上的代数，一元或多元多项式代数，形式幂级数代数，多项式的带余除法，首项系数可逆的多项式的根，重数，分裂首一多项式根与系数的关系，齐次多项式，对称多项式.
(4) 除环，域，整环的分式域，子域，域特征，Frobenius 同态，域扩张.
(5) 整环，主理想整环，欧几里得整环，素元，不可约元，可逆元，最大公因子，最小公倍元，唯一分解环，唯一分解环上的多项式代数，主理想整环上的有限生成模.
(6) 有理数域、实数域和复数域的构造，代数基本定理.
(7) 交换幺环上的有限模，代数中的整元，域的代数扩张和超越扩张，代数封闭域，模不可约多项式的剩余类域，分裂域，分圆域，可分扩张，正规扩张，Galois 群.
(8) 整数环与域上多项式环的算术，Eisenstein 判别法，商环中的可逆元，Euler 函数。

1.4 线性代数
(1) 模，模同态，模的直积与直和，直和分解，子模，商模，生成元，自由模，基.
(2) 模同态的核，同构定理.
(3) 交换幺环上模的对偶模，模的同态组成的模，模同态的对偶，模的自同态代数，矩阵，矩阵的转置，有限生成自由模之间同态的矩阵.
(4) 域上的线性空间，线性映射，基的存在性.
(5) 线性空间自同态的不变子空间，特征值，特征向量，特征子空间，线性自同态的多项式，核引理.
(6) 有限生成线性空间的基，维数，线性映射和矩阵的秩，阶梯矩阵，线性方程组的解，决定线性子空间的方程.
(7) 多重线性映射，对称性和交错性，张量积，外积，线性自同态的行列式和迹，可逆性的行列式判别，一般线性群和特殊线性群，实线性空间的定向.
(8) 线性自同态的特征多项式，极小多项式，Cayley-Hamilton 定理，对角化，幂零自同态，Dunford 分解，Jordan 标准型.

1.5 双线性代数
(1) 双线性形式，对称性，双线性形式的核，非退化双线性形式，二次型，二次型的秩，二次型的极化，平行四边形等式，双线性形式的矩阵表示，线性映射的伴随映射.
(2) 正交性，迷向锥，迷向子空间，双线性形式分解成平方和，Sylvester 惯性定理，R 和 C 上二次型的分类，正交化.
(3) 复向量空间上的一个半线性形式，Hermite 性，半内积，Cauchy-Schwarz不等式，半范数，内积，范数，Hilbert 空间.
(4) 正交群，特殊正交群，正交自同态分解为反射的复合，酉群，线性映射的伴随映射，自伴算子，正规算子，正规算子的对角化，两个实二次型的同时约化，平面和三维空间的欧氏几何，三维空间向量的外积.

1.6 欧氏几何
(1) 仿射空间，子仿射空间，重心，仿射标架，仿射空间的方程.
(2) 仿射群，位似变换群，仿射空间的夹角.
(3) 欧氏空间仿射子空间的等距同构，等距同构群.
(4) 凸集，凸包，凸多面体.
(5) 二次超曲面的分类，仿射平面中的圆锥曲线，三维空间中的二次曲面.

第二章 分析与概率

2.1 数列
(1) 集合中的序列，Abel 群中的级数，Abel 求和公式，子列.
(2) 增广实轴，序完备性，Cauchy 序列，上极限、下极限、极限，BolzanoWeierstrass 定理.
(3) 数列，数项级数，交错级数，正项级数，绝对收敛性，几何级数，Riemann级数，级数与积分的比较，余项估计，级数的乘积.

2.2 拓扑
(1) 度量空间，开集，闭集，有界集，拓扑，拓扑空间，诱导拓扑，拓扑空
间的乘积.
(2) 聚点，闭包，序列和映射的极限，连续映射，同胚.
(3) 紧性，列紧性，连通性，连通分支，道路连通性.
(4) Lipschitz 映射，一致连续性，Heine 定理.
(5) 度量空间的完备性，Baire 空间，压缩映射的不动点定理.
(6) 线性赋范空间，范数的等价性，有限维情形，Banach 空间，Hahn-Banach定理, ℓp 空间，Banach 空间中的绝对收敛级数.
(7) 有界线性映射，算子范数，一致收敛范数, Arzela-Ascoli 定理.
(8) 内积空间，Hilbert 空间，闭子空间上的正交投影.
(9) 内积空间的对偶，Riesz 表示定理，标准正交基，正交多项式.

2.3 微分
(1) 一元连续函数的中间值定理，单调函数的连续性，反函数的连续性.
(2) 可微性，复合函数的微分，反函数的微分，中值不等式，一元函数的中值定理.
(3) 偏微分，高阶微分，Taylor 公式，积分余项，函数的 Taylor 展开.
(4) 函数项序列，函数项级数，绝对收敛性，一致收敛性，正规收敛性
(5) 函数项序列极限的连续性、可微性.
(6) Jacobian，Hessian，局部极值，凸函数，凸性的判别.
(7) 微分同胚，反函数定理，隐函数定理.

2.4 积分
(1) σ-代数，测度空间，Borel 代数，测度，Lebesgue 测度，乘积测度空间，可测映射.
(2) 正值可测函数的积分，单调收敛性，Fatou 定理，控制收敛定理.
(3) 向量值函数的积分，含参数的积分，相对于参数的连续性和可微性.
(4) Lp 空间，Hölder 不等式, 完备性.
(5) Fubini 定理，积分换元公式，极坐标、球坐标换元，分部积分公式.
(6) 卷积，光滑函数逼近.
(7) Fourier 级数，Riemann-Lebesgue 定理，Dirichlet 定理，Fejér 核，Parseval 定理.
(8) 分布，Fourier 变换，Schwartz 空间，Plancherel 定理，Fourier 逆变换.

2.5 微分方程
(1) 常微分方程，初值问题，Cauchy-Lipschitz 定理，极大解，Grönwall 不等式.
(2) 线性常微分方程，变换常数法，高阶线性常微分方程.
(3) 线性偏微分方程，椭圆型、双曲型、抛物型偏微分方程，波动方程，热方程.

2.6 微分几何
(1) 欧氏空间的子流形，局部图像，局部参数，局部方程，参数曲线.
(2) 切向量，梯度，切空间，余切空间，曲率.
(3) Lagrange 乘子法.

2.7 复分析
(1) 幂级数，收敛半径，连续性，复可导性，幂级数的微分方程.
(2) 复指数，常用函数的幂级数展开.
(3) 全纯函数，Cauchy-Riemann 方程，沿路径积分，复对数，含复参数的积分.
(4) Cauchy 定理，亚纯函数，Cauchy 积分公式，全纯函数的解析性，亚纯函数的 Laurent 级数，留数定理，极点和零点的分离定理，最大值原理，解析延拓，解析延拓的唯一性.
(5) 全纯函数的序列和级数，一致收敛极限的全纯性.

2.8 概率论
(1) 随机事件，随机变量，概率测度，概率分布，独立性，联合分布，分布函数，密度函数.
(2) Bernoulli 分布，二项分布，几何分布，超几何分布，Poisson 分布，均匀分布，指数分布，正态分布.
(3) 数学期望，矩，方差，标准差，特征函数，Laplace 变换，独立随机变量和.
(4) 随机变量的收敛性，依概率收敛，Lp 收敛，几乎处处收敛.
(5) Markov 不等式, Chebychev 不等式.
(6) 大数律，中心极限定理.
(7) Radon-Nikodym 定理，条件概率，条件期望.
(8) 统计量，最小二乘估计，参数估计，假设检验，Fisher 信息量，CramerRao 不等式.

2.9 数值分析
(1) Gauss 消去法，矩阵的 LU 分解，特征值计算的数值方法.
(2) 收敛速度，迭代法，二分法，Newton 法，误差估计.
(3) 数值积分，Monte-Carlo 方法，多重积分的数值计算.
(4) 插值，Lagrange 多项式，误差估计.
(5) 常微分方程的数值方法.